Um Método do gradiente conjugado projetado e zeros do campo gradiente: um estudo numérico

Resumo

Este trabalho visa estudar numericamente o algoritmo proposto por Ding, Xiao e Li (2017) que determina zeros de campos vetoriais F: Rⁿ -> Rⁿ continuamente diferenciáveis e monótonos com restrição. Os testes numéricos foram realizados para determinar os zeros do gradiente de uma função disponível na biblioteca de testes dada em Surjanovic e Bingham (2013). Essa biblioteca disponibiliza funções para avaliação de algoritmos de otimização. O algoritmo foi implementado na Linguagem de Programação Julia. Foram realizados testes de desempenho considerando tempo de CPU, quantidade de iterações e número de avaliação de funções necessários para se obter convergência do algoritmo. O algoritmo utiliza um parâmetro  para o controle do processo. Foram considerados  para o desenvolvimento dos testes. Além disso, consideramos três conjuntos de restrição: o próprio espaço euclidiano n dimensional (neste caso o problema se tornou irrestrito) e em duas partes próprias desse espaço. Um sendo o conjunto dos pontos com coordenadas não negativas e outro, o conjunto dos pontos cujas coordenadas pertencem ao intervalo fechado de [0, 0.1]. Considerando o número máximo de iterações igual a 1200, observamos que o algoritmo resolveu cerca de 75% dos problemas nos dois primeiros conjuntos viáveis e 100% dos problemas no terceiro conjunto viável. Em todos os testes realizados, o valor de θ = 0.5 demonstrou a melhor performance, resultando em uma resolução mais rápida dos problemas, com menos iterações e menor número de avaliações da função. Por isso, conclui-se que o algoritmo foi eficiente na identificação dos zeros do campo gradiente da função objetivo, especialmente ao utilizar θ = 0.5.