Descrição de alguns homeomorfismos entre espaços topológicos

Resumo

O conceito de homeomorfismo é fundamental na topologia, pois são usados para mostrar que dois espaços topológicos que a priori parecem distintos são, na realidade, a mesma coisa do mesmo do ponto de vista topológico, além de que preservam propriedades topológicas como compacidade e conexidade. Uma classe importante de espaços topológicos são os espaços métricos, que possuem uma noção de distância. Um dos mais famosos homeomorfismos entre espaços métricos é a projeção estereográfica. Ela mapeia a esfera unitária menos um ponto para o plano bidimensional. Nosso trabalho mostra que este mapeamento é contínuo e possui uma inversa contínua, estabelecendo assim um homeomorfismo. Uma dificuldade usual em estabelecer homeomorfismos é encontrar fórmulas explícitas para o mapeamento entre os espaços topológicos. Nosso trabalho destaca homeomorfismos que podem ser obtidos por técnicas de identificação de bordas ou técnicas de recortar e colar superfícies, por exemplo, verificamos que a garrafa de Klein é homeomorfa à união de duas cópias de uma faixa de Möbius unidas por um homeomorfismo ao longo de suas bordas e mostramos que o um toro pode ser construído identificando-se as bordas opostas de um quadrado.