Topologias fraca e fraca-estrela

Resumo

A topologia fraca e a topologia fraca-estrela são conceitos fundamentais na análise funcional e na teoria dos espaços de Banach. Mostraremos que topologia fraca é uma topologia com menor número de conjuntos abertos, para a qual todos os funcionais lineares contínuos em um espaço Banach são contínuos com a topologia fraca. Em especial , demonstraremos que esta topologia é Hausdorff e possui importantes propriedades de convergência. A topologia fraca-estrela é uma topologia definida no espaço de dual de um espaço de Banach e é a topologia mais fraca para a qual todas as avaliações nos pontos são contínuas. Mostraremos no  Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki que a bola unitária fechada no espaço dual é compacta na topologia fraca-estrela. Este resultado é de extrema importância, pois contrasta com o que acontece na topologia da norma, em que a bola unitária nunca é compacta em dimensão infinita.