Topologia do cubo de Hilbert

Resumo

O cubo de Hilbert é um dos exemplos mais importantes de espaços métricos usado na topologia e na análise funcional como um exemplo de um espaço métrico compacto e de dimensão infinita. Ele é particularmente relevante na teoria dos espaços de Banach, onde serve como um contra-exemplo para várias conjecturas que são verdadeiras em dimensões finitas, mas falham em dimensões infinitas. O cubo de Hilbert é um espaço métrico compacto, portanto completo, e “universal": de fato, mostramos que todo espaço metrizável com base enumerável é homeomorfo a um subespaço dele. A demonstração da compacidade do cubo de Hilbert será distinta da usual, em que se usa o Teorema de Tychonoff, em vez disso se utiliza que a compacidade de um espaço métrico é equivalente a convergência de cada subsequência do espaço métrico.