Um estudo computacional das bacias de atração do Método de Newton equipado com a regra de Armijo

Resumo

Neste trabalho, apresenta-se um estudo computacional das bacias de atração do Método de Newton clássico, com passo unitário, e do Método de Newton equipado com a regra de Armijo para a determinação de raízes de funções complexas. O objetivo é comparar o comportamento de ambos os métodos e analisar, por meio das bacias de atração, o impacto da estratégia de busca linear na convergência e na estrutura dos fractais gerados. O estudo das bacias de atração do Método de Newton no plano complexo remonta ao trabalho pioneiro de Cayley e tem sido amplamente explorado sob a perspectiva computacional e da teoria dos fractais. Os experimentos numéricos foram realizados com as funções f_1(z) = z^10+1 e f_2(z) = z^7-1definidas nos complexos. Para ambas as funções, foi considerado o domínio [-2,2] [-2,2]  ⊂ ℂ. No domínio, foram considerados 9  x 10^6 pontos igualmente espaçados como aproximações iniciais. A convergência foi estabelecida com tolerância  ϵ = 10^-12 e limite máximo de 1000 iterações, registrando-se, para cada ponto inicial, a raiz obtida e o número de iterações necessárias para a convergência. Os resultados mostram que ambos os métodos produzem bacias de atração com estrutura global semelhante, refletindo o fato de que a regra de Armijo preserva as características essenciais do Método de Newton. Entretanto, diferenças significativas são observadas nas fronteiras das bacias, onde o método com Armijo apresenta transições mais suaves e reduz regiões de não convergência. Além disso, em vizinhanças de pontos nos quais a derivada da função assume valores próximos de zero, a estratégia de busca linear amplia a região de convergência, conduzindo a uma raiz em situações nas quais o método clássico diverge. Os experimentos evidenciam, ainda, a natureza fractal das bacias de atração, a influência da escala na visualização desses padrões e a estreita relação entre as fronteiras das bacias, o aumento do número de iterações e a ocorrência de não convergência, em concordância com resultados apresentados na literatura.