SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES E O MÉTODO DE NEWTON

Resumo

Neste trabalho, estudamos o Método de Newton para determinar zeros de funções de n variáveis. O Método de Newton é conhecido por gerar uma sequência que converge para um zero de uma função com taxa superlinear ou quadrática. Vale ressaltar que, na literatura vigente, o método não garante a escolha do ponto inicial da sequência de forma que assegure a sua convergência. Contudo, em nossa pesquisa, construímos um exemplo onde determinamos a região na qual o ponto inicial deve ser escolhido para assegurar a convergência da sequência de Newton para uma solução do problema. Além disso, salientamos que nosso exemplo trata de um sistema de equações não lineares, cuja resolução não é estudada na graduação. O sistema de equações não lineares abordado é dado por


x − y = −1
−x2 + y = 1
. (1)
Encontrar a solução de (1) é equivalente a determinar um zero da função F : R2 → R2 definida por F(x; y) = (x − y + 1;−x2 + y − 1). Aplicamos o Método de Newton para determinar um zero de F. Demonstramos que, se p0 = (x0; y0), onde x0 pertence ao semiplano {x ∈ R|x < 0}, então a sequência gerada pelo Método de Newton converge para a solução p = (0; 1) do problema mencionado. No que segue, iremos descrever formalmente o Método de Newton, utilizado para resolver o problema (1):
Algoritmo 1: Método de Newton
1 Tome um ponto inicial x0 ∈ Rn e k := 0.
2 Calcule a direção de Newton vk ∈ Rn como uma solução de F′(xk)vk = −F(xk).
3 xk+1 := xk + vk
4 k := k + 1 e retome para o passo 2.
Implementamos este algoritmo para constatar a eficiência numérica do Método de Newton. Foram testados 10 pontos iniciais tomados na região que obtivemos e, para cada ponto, observamos que a sequência de Newton convergiu para a solução p = (0; 1).

Agência de fomento: VOLUNTÁRIO